博彩的同学应该都听过凯利公式, 它通过最大化收益期望的方法, 来计算每次下注的最佳赌注是多少.

公式1

凯利公式是由贝尔实验室的研究员 J. L. Kelly Jr 在1956年提出.

假设有一枚60%概率向上的硬币, 赔率是1(即下注30元压中正面则可以返回60元,其中盈利30元), 若要使赌金最大化增长, 每次应该下注多少呢?
根据凯利公式:

$$
f^* = p - \frac{q}{b}
$$

$f^*$ 是我们要得到的最佳下注的赌金比例. p 是胜的概率, p=60%. q 是败的概率, q=(1-p)=40%. b 是赔率, b=1.

可得 $f^*$ = 0.6 - 0.4/1 = 0.2 = 20%

也就是说, 对于这个赌局, 我们用本金的 20% 去下注最佳.

而且, 当 $b = \frac{q}{p}$ 时, 我们最好不要下注.
当 $b < \frac{q}{p}$ 时, 我们应该下注另一头.

例子

举个例子, 阿森纳 vs 西汉姆这场比赛, 博彩网站的亚盘开出阿森纳赢球的赔率 b=0.91 , 我们该如何投注呢.

根据凯利公式:

如果你认为阿森纳赢球的概率 p=50%, 那么 q/p = 0.5/0.5 = 1 . 由于 b < 1 , 此时不适合下注.
因为 $b = \frac{q}{p}$ , 得到 $p = \frac{1}{1 + b} = 1/(1+0.91) = 52.36\%$ , 所以当概率 p 大于 52.36% 时, 才适合下注.
如果你认为阿森纳赢球的概率p=55%, 那么适合下注的资金比例是 $p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{0.91} = 10\% $

最后, 风险提示, 这个胜率p是很难得出的, 而且可以发现博彩网站上看到的赔率, 计算出来的 $f^*$ 都是负值的, 不过可以通过赔率来大概了解庄家认为的赢球概率.
小赌怡情, 大赌伤身.

凯利公式的通用形式和简单证明下一篇再写.