上篇简单介绍了凯利公式, 不过这个公式还有另一个形式.
公式2
凯利公式有一个更通用的形式, 可以允许部分损失, 这样在投资上会更容易用.
$$
{\displaystyle f^{*}={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{b}}}
$$
可以发现多了一个 ${\displaystyle a}$ .
${\displaystyle a}$ 是输时损失占本次下注资金的比例, 比如损失10%时, 那么 a=0.1 . 当 a=1 时, 公式2 就和 公式1 一致了.
${\displaystyle b}$ 的定义和之前一样, 是赢时盈利占本次下注资金的比例.
例子
假设有一个投资品, 有60%的胜率盈利10%, 40%的败率亏损4%, 那么代入公式可得:
$f^* = 0.6/0.04 - 0.4/0.1 = 11$
结果 11 大于 1, 意思是加杠杆以11倍的资金进行买入.
证明
假设初始值为1, 那么几何增长率r为:
$$
{\displaystyle r=(1+fb)^{p}\cdot (1-fa)^{q}}
$$
根据大学高等数学知识, 要找到 r 的最大值, 可以对方程式进行最优化求导.
首先建立期望的方程式:
$$
{\displaystyle E=\log(r)=p\log(1+fb)+q\log(1-fa)}
$$
当 f 趋近于 $f^*$ 时, r = 0. 因此, 对 f 进行微分:
${\displaystyle \left.{\frac {dE}{df}}\right|_{f=f^{*}}={\frac {pb}{1+f^{*}b}}+{\frac {-qa}{1-f^{*}a}}=0}$因为 p + q = 1, 整理方程可得:
$$
{\displaystyle f^{*}={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{b}}}
$$